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limsin2x sin5x

解: 方法一:应用等阶无穷小 因为当x->0时,sin2x与2x等阶,sin5x与5x等阶. 故lim(sin2x/sin5x)=lim2x/5x=2/5 方法二:应用洛必达法则 当x->0时,满足0/0型.故可用洛必达法则 lim(sin2x/sin5x)=lim(sin2x)'/(sin5x)'=lim2cos2x/(5cos5x)=2cos0/(5cos0。

用等价无穷小做替换,sin2x替换成2x,sin5x替换成5x,这样x就可以消掉,得到2/5 还可以使用罗必塔法则,分子和分母均对x求一阶导数,这样得到2cos2x/(5cos5x),代入x=0,得到和上面一样的结果.

sinx~x,增加系数也一样。所以sin5x~5x,sin3x~3x

(x→0)lim(sin2x/sin5x) =(x→0)lim(2x/5x) 这个是性质 书上有 =2/5

(x→0)lim(sin2x/sin5x)=(sin2x/2x)*(5x/sin5x)*(2/5)=2/5 (x→∞)时极限不存在

lim(x→0)(sin5x)/x =lim(x-->0)5(sin5x/(5x) =5lim(x-->0)(sin5x)/(5x) =5*1 =5

解:先判断条件:都是符合的 0/0型 1 原式=lim[e^x+e^x]/cosx 再判断条件 不符合了,于是原式=2 2.原式=lim3cos3x/5cos5x 再判断条件 不符合了,于是原式=3/5 3.原式=limx/tan2x=lim(1+4x^2)/2 再判断条件 不符合了,于是原式=1/2

∫ 1/(1+sin^2x)dx = ∫ [1/cos^2x]/(1/cos^2x+tan^2x)dx = ∫ [sec^2x]/(sec^2x + tan^2x)dx = ∫ 1/(1 + 2tan^2x)dtanx = 1/√2 *∫ 1/(1 + (√2tanx)^2)d(√2tanx) = 1/√2 * arctan(√2tanx) + C

如图

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