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limsin1 x

取离散数列会收敛到不同的极限值,也就是不收敛

lim(x->0) sin(1/x) 不存在

x是无穷小,sin(1/x)是有界函数,有界函数乘以无穷小,结果是0

limsin(1/x) x→0 上述没有极限,因为正弦函数为周期连续函数,1/x为无穷量,sin1/x为不定值,因而没有极限。 limxsin(1/x) x→0 正弦函数为周期连续函数,|sin1/x|≤1,是有限值, x为无穷小量,两者相乘仍为无穷小量,其极限为0。

有个定理:无穷小量与有界量的乘积是无穷小量 x是无穷小量,-1≤sin(1/x)≤1是有界量 所以原极限等于0

令u=1/x,则x→0时,u→∞ 所以 lim 1/x * sin1/x =lim usinu 取子列,令u分别为 2π,4π,6π,..., 2kπ,...., 函数值的子列是0,0,....,0...趋于0 再取子列,令u分别为 π/2,....,2kπ+π/2,... 函数值的子列是, π/2,....,2kπ+π/2,...趋于∞ 两个子列...

1/x趋于无穷 所以sin(1/x)在[-1,1]震荡 即有界 x趋于0 所以原式=0

如果极限存在,那么任何方式趋近零必然均为同一个极限值 (1)x=1/kpai(圆周率),k趋近于正无穷或负无穷时,x必然趋近于0,此时极限为0 (2)x=2/(2k+1)pai(圆周率),k趋近于正无穷或负无穷时,x必然趋近于0,此时极限为1或-1 故极限不存在

第一个没有极限,第二个是0

①设x=1/(2kπ),所以lim(x→0)sin(1/x)=lim(k→∞)sin2kπ=0, ②设x=1/(2kπ+π/2),所以lim(x→0)sin(1/x)=lim(k→∞)sin(2kπ+π/2)=1,两个极限不等,所以不存在

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