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limsin xy y

换元m=xy,就变形成两个重要极限之一了,=1不用多说了吧。

=lim (xy)/(x+y) =lim 1/(1/y + 1/x) 若x和y由相同的方向→0,则结果为 1/∞=0 否则为不定式∞-∞,不一定是什么值。 所以极限不存在。

分子与分母中同时乘以y,利用重要极限 sinx/x 当x趋于0 时 极限等于1,可得 上述极限等于 π。

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对于任意y≠0,均有:sin(xy)x=sin(xy)xy?y.令t=xy 可得,lim(x,y)→(0,2)sin(xy)xy=limt→0sintt=1.又因为lim(x,y)→(0,2)y=2,所以 lim(x,y)→(0,2)sin(xy)x=lim(x,y)→(0,2)sin(xy)xy?y=lim(x,y)→(0,2)sin(xy)xy?lim(x,y)→(0,2)y=2....

当x趋近2,y趋近0时,xy仍然趋近0,所以sin(xy)和xy是等价无穷小,在乘除运算中可以相互代换 原式=xy/y=x=2 当x趋近2,y趋近0时

0/0型等价交换公式,xy-sinxy等价于(xy)³/6, 1-cosxy等价于(xy)²/2,所以原式就等于见图吧 等价公式很重要呀,要记得

因为x→0,y→0时,x是无穷小量,而sin(1/y)是有界变量,因此limxsin(1/y)=0; 同理,y是无穷小量,sin(1/x)是有界变量,因此limysin(1/x)=0. 两个无穷小量之和仍为无穷小量。

令t=xy, x->0,y->0即得t->0 Taylor展开:sin(t)=t-t^3/6+o(t^3),cos(t)=1-t^2/2+o(t^2) 所以原式=lim(t->0)(t-sin(t))/(t-tcos(t))=lim(t^3/6+o(t^3))/(t^3/2+o(t^3))【o(t^3)是无穷锌 =1/3+o(1)=1/3 编辑的格式不规范,但应该不影响理解

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