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1/(1+sin^2x)的不定积分如何求

∫ 1/(3+sin²x) dx = ∫ 1/(3sin²x+3cos²x+sin²x) dx = ∫ 1/(4sin²x+3cos²x) dx,同除cos²x,凑d(tanx) = ∫ 1/(4tan²x+3) d(tanx) = 1/(2√3) * arctan( 2/√3 * tanx) + C.

∫sin(2x+1)dx = 1/2∫sin(2x+1)d(2x+1) = -1/2*cos(2x+1)+C

∫ dx/(sinx)^2 =∫ (cscx)^2dx = -cotx + C

原本是求y = cosx的弧长? ∫ √(1 + sin²x) dx = ∫ √(2 - cos²x) dx,令x = π/2 + y = ∫ √(2 - sin²y) dy = ∫ √[2(1 - 1/2 • sin²y)] dy,若给上下限α和β,则 = √2∫(α~β) √(1 - 1/2 • sin²y) dy = √2∫(α~0)...

∫ sin^2x/(1+sin^2x)dx =∫ 1-1/(1+sin^2x)dx = x-∫ [1/cos^2x]/(1/cos^2x+tan^2x)dx = x-∫ [sec^2x]/(sec^2x + tan^2x)dx = x-∫ 1/(1 + 2tan^2x)dtanx =x- 1/√2 *∫ 1/(1 + (√2tanx)^2)d(√2tanx) = x-1/√2 * arctan(√2tanx) + C

∫sin2x/(1+sin²x)dx =2∫sinxcosx/(1+sin²x)dx =2∫sinx/(1+sin²x)dsinx =∫1/(1+sin²x)dsin²x =ln(1+sin²x)+C

这题的不定积分过程应该没有困难,我想你的问题在于最后代入积分限时出错。注意:原函数在x=π/2处是个间断点: 那么就需要分区间代入积分结果,因为牛顿-莱布尼兹公式要求区间上函数是连续的,参考下图:

如图所示

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