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求lim(x%>0)(Cos2x+2xsinx)^1/(x^4)

其实就是e^x-1等价于x,ln(1+x)等价于x,sinx等价于x。1、(1+sinx)^x-1=e^(xln(1+sinx))-1等价与xln(1+sinx)等价于xsinx等价与x^2。2、先用洛必达法则求极限(tanx)^x,lim(tanx)^x=e^(limxlntanx)=e^(limlntanx/(1/x))=e^(limsec^2x/tanx/(...

参考过程

## 泰勒公式 你的思路完全正确,应该是最后sinx的泰勒展开出错了,参考下图:

先取对数,换成0/0型的极限,再用洛必达法则 过程如下图:

答案是 e^1/3 用 第二个基本极限做

x→0时 2x→0 x^4→0 1-cos2x ~ 1/2 (2x)^2 = 2 x^2 sinx^4 ~ x^4 等价无穷小代换一次之后 原式变成 { 1 - cos (2 x^2) } / x^4 x→0时 x^2→0 1 - cos (2 x^2) ~ 1/2 ( 2 x^2 )^2 = 2 x^4 等价无穷小代换第二次之后 原式变成 2 x^4 / x^4 = 2

运用了幂指数的变形;第二行运用了e^x-1~x,ln(1+x)~x.

原式=lim(x->0) [(2x)^2/2]/x^2 =2

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