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求极限lim sin(xy)/x x→0,y→π

分子与分母中同时乘以y,利用重要极限 sinx/x 当x趋于0 时 极限等于1,可得 上述极限等于 π。

limX→0,X*sin(π/X) =0

1

我记得好像是跟泰勒展开式有关

(当n趋向∞)nsin(π/n)的极限解法: 当n趋向∞, limnsin(π/n) =lim n*[sin(π/n)]/(π/n)*(π/n) =lim n*(π/n)*[sin(π/n)]/(π/n) =lim [n*(π/n)]*[sin(π/n)/(π/n)] =lim π*[sin(π/n)/(π/n)] =π*lim[sin(π/n)/(π/n)] =π 在重要极限中lim(x→0)sinx/...

y趋于0就是x趋于1, =lim(x-1)sin(πx/2)/sin(π/2-πx/2) =lim-2/πsin(πx/2)(π/2-πx/2)/sin(π/2-πx/2) =-2/π

是在x 趋于0的时候吧, 注意 x趋于0时,sinx /x趋于1, 即sinx等价于x, 同理,此时sinπx等价于πx 即可以认为sinπx =πx

∫(0->π/2) sin(x+y)dy = -[cos(x+y)]| y:0->π/2 =-(cos(π/2+x) - cosx ) =-(-sinx -cosx) =sinx+cosx

当 x=π时,sin mx = sin nx = sin 0 = 0 所以,原式 = lim sin (mπ-mx) / sin (nπ - nx ) = lim (mπ-mx) / (nπ - nx ) 【等价无穷小代换】 = (m/n)·lim (π-x) / (π - x ) = m/n

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