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求定积分∫(0→1)x².Cos(πx)/2πDx

由cosxdx=dsinx,应用分部积分法得解。

令t=πx 原式=(1/π)*∫(0,π) e^t*costdt =(1/π)*∫(0,π) e^t*d(sint) =(1/π)*e^t*sint|(0,π)-(1/π)*∫(0,π) sint*e^tdt =(1/π)*∫(0,π) e^t*d(cost) =(1/π)*e^t*cost|(0,π)-(1/π)*∫(0,π) cost*e^tdt =(1/π)*(-e^π-1)-(1/π)*∫(0,π) e^t*costdt 所以原...

x²,cosx 2x,sinx,+ 2,-cosx,- 0,-sinx,+ ∫x²cosxdx =(x²)(sinx)-(2x)(-cosx)+(2)(-sinx)+C =x²sinx+2xcosx-2sinx+C ∫(0,2π)x²cosxdx ={0+2*2π-0}-0 =4π

本题需先证明一个结论,这个在同济大学高等数学教材里定积的换元法部分有这个例子。里面的第二个结论是我们要用的。 有了这个结论本题就十分简单了,下面是过程。

An ounce of prevention

解:∫(-π/4到π/4) (cosx)²/[1+e^(-x)]dx =∫(-π/4到0) (cosx)²/[1+e^(-x)]dx+∫(0到π/4) (cosx)²/[1+e^(-x)]dx 对第一个积分式,令t=-x代换下,有: ∫(-π/4到0) (cosx)²/[1+e^(-x)]dx ( t=-x,则dx=-dt) =∫(π/4到0)...

∫x²cos2xdx =1/2·∫x²dsin2x =1/2·x²sin2x-1/2·∫sin2xdx² =1/2·x²sin2x-∫xsin2xdx =1/2·x²sin2x+1/2∫xdcos2x =1/2·x²sin2x+1/2xcos2x-1/2∫cos2xdx =1/2·x²sin2x+1/2xcos2x-1/4∫dsin2x =1/2...

令x=√2sina则dx=√2cosada√(2-x²)=cosax=0,a=0x=√2,a=π/2所以原式=∫(0-π/2)2sin²a*cosa*√2cosada=∫(0-π/2)2√2sin²acos²ada=√2/2*∫(0-π/2)sin²2ada=√2/4*∫(0-π/2)(1-cos2a)/2d2a=√2/4(2a-sin2a)/2(0-π/2)=√2/4*(π-0...

implicit none real(8)::dx,x,y real(8),parameter::pi=3.141592653 dx=0.0001d0 x=0.0d0 y=0.0d0 do while (x

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