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求定积分∫(%π/4→π/4)xDx/(1+sinx)

函数f(x)=sinx/x在(0,π/2)上单调递减. f(π/2)=2/π.由定积分的几何意义,围成的图形的面积介于梯形(顶点(0,1)、(π/2,0)、(0,0)、(π/2,2/π))与矩形之间.利用面积就可以证明了,不懂追问

I1-I2=∫[(sinx/x)-(x/sinx)]dx =∫[(sin²x-x²)/(x*sinx)]dx =∫[(sinx+x)*(sinx-x)/(x*sinx)]dx 因为在(0,π/2)上,x>sinx>0 所以,(sinx+x)*(sinx-x)/(x*sinx)<0 则,I1<I2

I2>I1

解:被积函数是不是“x(sinx)^3"?若是,分享一种用分部积分法的解法。先利用(sinx)^3=(3sinx-sin3x)/4"降次", ∴原式=(1/4)∫(0,π)[3xsinx-xsin3x)dx=(3/4)(-xcosx+sinx)丨(x=0,π)-(1/4)[(-1/3)xcos3x+(1/9)sin3x](x=0,π)=2π/3。供参考。

三角函数~积化和差公式: cosAcosB = (1/2)[cos(A + B) + cos(A - B)] sinAcosB = (1/2)[sin(A + B) + sin(A - B)] 积分公式: ∫ sin(x) dx = - cos(x) + C ∫ sin(Nx) dx = (- 1/N)cos(Nx) + C ∫(a→b) ƒ(x) dx = F(b) - F(a),F(x)是ƒ...

如果是积分 ∫sinx/(1+x²)dx 显然这是奇函数 那么积分之后得到偶函数 代入互为相反数的上下限 定积分等于零

分享一种解法。原式=∫(0,π/2)dx/(1+cos²x)+∫(0,π/2)sinxdx/(1+cos²x)。 而,∫(0,π/2)dx/(1+cos²x)=∫(0,π/2)d(tanx)/(2+tan²x)=(√2/2)arctan(tanx/√2)丨(x=0,π/2)=(√2)π/4、∫(0,π/2)sinxdx/(1+cos²x)=-∫(0,π/2)d(cosx)/...

令f(x)=sinx/x,则 f'(x)=(xcosx-sinx)/x^2 =(x-tanx)cosx/x^2

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