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求定积分∫%1~1(x^1999Cos^2x+1/(1+x^2))Dx

定积分偶倍奇零性质, =0+2∫(0到1)1/(1+x^2)dx =2arctanx =π/2

对称区间上奇函数的积分为 0 原式 = ∫[-1,1]dx/(1+x^2) = arctanx [-1,1] = arctan1 - arctan(-1) = π/4 - (-π/4) = π/2

2x和 x*cosx 都是奇函数, 所以积分之后得到的是偶函数, 那么代入互为相反数的上下限1和-1,显然为0 于是 原积分=∫ x^2 dx =1/3 *x^3 代入上下限1和 -1 =2/3 故定积分值为 2/3

手写 采纳哦

=∫½[1+cos(2x)]dx =∫½dx+∫½cos(2x)dx =∫½dx+¼∫cos(2x)d(2x) =½x+¼sin(2x) +C 解题思路: 先运用二倍角公式进行化简。 cos(2x)=2cos²x-1 则cos²x=½[1+cos(2x)]

用分部积分法。

令 t=1/x ,则 dt= -dx/x^2 , 原式=∫-costdt=sint+C=sin(1/x)+C 。

简单凑微分,详解参考下图

最后结果是正无穷

令cosx=t,dx=-1/(1-t^2)^0.5dt, (1+cosx^2)^0.5=1/tanx=(1-t^2)^0.5/t, 于是原积分=∫t/(t^2-1)dt=1/2∫1/(t^2-1)d(t^2-1)=1/2ln(t^2-1))+C=lnsinx+C

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