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求不定积分:∫ 1/(3+Cosx) Dx

三角函数中有个万能公式 cosx=(1-tan²x/2)/(1+tan²x/2)= (1-tan²x/2)/sec²x/2 t=x/2 dx/(3+cosx)=dtant/(4+2tan²t) 你的裂项有问题 √(1-u²)是无理项

用万能代换。 设tgx/2=u 则 dx=[2/(1+u^2)]du cosx=(1-u^2)/(1+u^2) 代入1/(3+cosx)的 du/(u^2+2) 其原函数为(1/√2)*arctg(u/√2) 把tgx/2=u代入得 原函数为(1/√2)*arctg[(tgx/2)/√2)]

解答如图 前面给的三个公式称“万能公式”

使用分部积分,高数书上也有递推公式,针对就是cosx的n次方分之1那种情形的。

请见下图的过程

∫cos³xdx=∫cos²xdsinx=∫(1-sin²x)dsinx=∫dsinx-∫sin²xdsinx=sinx-sin³x/3+C

∫1/cosxdx =∫secxdx =∫(sec²x+secxtanx)/(secx+tanx) dx =∫1/(secx+tanx) d(secx+tanx) =ln|(secx+tanx) |+c

作万能代换,令t=tan(x/2),则dx=2dt/(1+t²),cosx=(1-t²)/(1+t²) 故原积分=∫dt/(2+t²)=1/√2*arctan(t/√2)+C=1/√2*arctan(tan(x/2)/√2)+C

二倍角公式转换后积分,参考下图

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