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∫xsin²xDx求0~π的定积分?急

降幂公式加分部积分

解:被积函数是不是“x(sinx)^3"?若是,分享一种用分部积分法的解法。先利用(sinx)^3=(3sinx-sin3x)/4"降次", ∴原式=(1/4)∫(0,π)[3xsinx-xsin3x)dx=(3/4)(-xcosx+sinx)丨(x=0,π)-(1/4)[(-1/3)xcos3x+(1/9)sin3x](x=0,π)=2π/3。供参考。

公式:∫[0→π] xf(sinx) dx = (π/2)∫[0→π] f(sinx) dx ∫[0→π] x(sinx)⁶(cosx)⁴ dx 由公式: =(π/2)∫[0→π] (sinx)⁶(cosx)⁴ dx =(π/2)∫[0→π/2] (sinx)⁶(cosx)⁴ dx + (π/2)∫[π/2→π] (sinx)⁶(cosx)⁴...

显然sin²x= -0.5cos2x+0.5 所以得到 原积分 =∫ x *(-0.5cos2x+0.5) dx =0.25x² - 0.25∫ x d(sin2x) =0.25x² - 0.25x *sin2x + ∫0.25sin2x dx =0.25x² - 0.25x *sin2x -0.125cos2x +C,C为常数

xsinx^2=x*(1-cos2x)/2 其中xcos2x,采用分部积分法 x/2积分为x^2/4

D={(x,y)|0≤x≤π,0≤y≤π)} 区域D的面积 σ =π² 0≤sin²xsin²y≤1,当(x,y)∈D时,则 0* σ≤∫D∫sin²xsin²ydσ ≤1*σ,即 0≤∫D∫sin²xsin²ydσ≤π²

你把上面划线的那个等式看成一个整体,移过去,就可以得出下面的等式

换元法+分部积分

【因为所用书写软件不能输入汉字,其中有个移项过程没有文字说明,请仔细查看。】 【第一行的第二个等号后面的第二项,移到第四行与其同类项合倂得5/2的系数。】

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