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∫(0→π)√(1+Cos2x)Dx 求定积分

∫[0,π]√(1+cos2x)dx =∫[0,π]√(1+2cos²-1)dx =√2∫[0,π]|cosx|dx =√2∫[0,π/2]cosxdx+√2∫[π/2,π](-sinx)dx =√2(sinx [0,π/2])-√2(sinx[π/2,π]) =√2(1-0)-√2(0-1) =2√2

解:∫√(1+cos2x)dx=∫√(2cos²x)dx (应用余弦倍角公式) =√2∫│cosx│dx =√2(∫│cosx│dx+∫│cosx│dx) =√2(∫cosxdx-∫cosxdx) =√2[(sinx)│-(sinx)│] =√2[(1-0)-(0-1)] =2√2。

用分部积分法。

这个题目很简单,只要改写一下被积函数就可以如图写出原函数并求出积分值是2。

(利用降次公式)

An ounce of prevention

0 cosx积分是-sinx,把x=0和x=π代入得到0 其实从图像也可以看出它x轴上面的面积和下面的面积一样多

因为√(1-cos2x)=√2*|sinx|为偶函数,所以∫(上限π下限-π)x√(1-cos2x)dx为奇函数,其积分为零; 所以 ∫(上限π下限-π)(x+1)√(1-cos2x)dx =∫(上限π下限-π)√(1-cos2x)dx =∫(上限π下限-π)√2*|sinx|dx =√2∫(上限π下限-π)|sinx|dx =2√2∫(上限π下限0)sinx...

显然1+cos2x=2(cosx)^2 那么 原积分 =∫1/2(cosx)^2 dx =0.5 *∫1/(cosx)^2 dx =0.5tanx +C,C为常数

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