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∫(0→π)√(1+Cos2x)Dx 求定积分

∫[0,π]√(1+cos2x)dx =∫[0,π]√(1+2cos²-1)dx =√2∫[0,π]|cosx|dx =√2∫[0,π/2]cosxdx+√2∫[π/2,π](-sinx)dx =√2(sinx [0,π/2])-√2(sinx[π/2,π]) =√2(1-0)-√2(0-1) =2√2

解:∫√(1+cos2x)dx=∫√(2cos²x)dx (应用余弦倍角公式) =√2∫│cosx│dx =√2(∫│cosx│dx+∫│cosx│dx) =√2(∫cosxdx-∫cosxdx) =√2[(sinx)│-(sinx)│] =√2[(1-0)-(0-1)] =2√2。

用分部积分法。

这个题目很简单,只要改写一下被积函数就可以如图写出原函数并求出积分值是2。

(利用降次公式)

An ounce of prevention

不要直接积 把cos2x换成2cosx^2-1 然后就很好算了 画下图就出来了 不懂追问

0 cosx积分是-sinx,把x=0和x=π代入得到0 其实从图像也可以看出它x轴上面的面积和下面的面积一样多

实际上x*cosx是一个奇函数, 那么积分之后得到的是偶函数, 所以代入互为相反数的上下限1和-1, 定积分值为0 如果使用分部积分法 ∫ x cos2x dx =∫ x/2 d(sin2x) = x/2 * sin2x - ∫sin2x d(x/2) =x/2 * sin2x - 1/4 *∫sin2x d 2x =x/2 * sin2x +1...

∵cos2x=2cos²x-1 ∴∫√(1+cos2x)dx=∫√2|cosx|dx ∴(0,π)∫√(1+cos2x)dx=(0,π/2)∫√2cosxdx+(π/2,π)∫-√2cosxdx=2√2

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