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∫[0,π]√(1+Cos2x)Dx定积分 谢谢

∫[0,π]√(1+cos2x)dx =∫[0,π]√(1+2cos²-1)dx =√2∫[0,π]|cosx|dx =√2∫[0,π/2]cosxdx+√2∫[π/2,π](-sinx)dx =√2(sinx [0,π/2])-√2(sinx[π/2,π]) =√2(1-0)-√2(0-1) =2√2

√2∫(0,3/4π)IcosxIdx=√2[∫(0,1/2π)cosxdx-∫(1/2π,3/4π)cosxdx]=2√2-1

An ounce of prevention

这个题目很简单,只要改写一下被积函数就可以如图写出原函数并求出积分值是2。

1-cos2x=2(sinx)^2 在0到π上sinx恒为正 从而简化为根号2*sinx 积分为根号2*(-cos(π)+cos0)=2根号2

用分部积分法。

(利用降次公式)

∫(上限π/4,下限0)x/(1+cos2x) dx =∫(上限π/4,下限0)x×/(1/2×(secx)^2) dx =1/2×∫(上限π/4,下限0)x dtanx =1/2×[π/4-∫(上限π/4,下限0) tanx dx] tanx的原函数是-ln|cosx| =π/8-ln2/4

实际上x*cosx是一个奇函数, 那么积分之后得到的是偶函数, 所以代入互为相反数的上下限1和-1, 定积分值为0 如果使用分部积分法 ∫ x cos2x dx =∫ x/2 d(sin2x) = x/2 * sin2x - ∫sin2x d(x/2) =x/2 * sin2x - 1/4 *∫sin2x d 2x =x/2 * sin2x +1...

显然1+cos2x=2(cosx)^2 那么 原积分 =∫1/2(cosx)^2 dx =0.5 *∫1/(cosx)^2 dx =0.5tanx +C,C为常数

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